Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$

Step 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $6 x - 3 x \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x \ln (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$6 - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$6 - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Перепишем это выражение.

$6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$6 - 3 (1 + \ln (x))$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 3$ на $1$ .

$6 - 3 - 3 \ln (x)$

Вычтем $3$ из $6$ .

$3 - 3 \ln (x)$

Step 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $3 - 3 \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \ln (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{1}{x}$

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 3}{x}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

Вычтем $\frac{3}{x}$ из $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Step 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 - 3 \ln (x) = 0$

Step 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $6 x - 3 x \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Умножим $6$ на $1$ .

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x \ln (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f' (x) = 6 - 3 \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

$f' (x) = 6 - 3 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)$

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x))$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = 6 - 3 - 3 \ln (x)$

Вычтем $3$ из $6$ .

$f' (x) = 3 - 3 \ln (x)$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 - 3 \ln (x)$ .

$3 - 3 \ln (x)$

Step 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 - 3 \ln (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 - 3 \ln (x) = 0$

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 3 \ln (x) = - 3$

Разделим каждый член $- 3 \ln (x) = - 3$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- 3 \ln (x) = - 3$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{- 3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 3$ на $- 3$ .

$\ln (x) = 1$

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Перепишем $\ln (x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Перепишем уравнение в виде $x = e^{1}$ .

$x = e$

Step 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = e$

Step 8

Найдем вторую производную в $x = e$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{3}{e}$

Step 9

$x = e$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = e$ — локальный максимум

Step 10

Найдем значение y, если $x = e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $e$ .

$f (e) = 6 (e) - 3 e \ln (e)$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e) = 6 e - 3 e \cdot 1$

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (e) = 6 e - 3 e$

Вычтем $3 e$ из $6 e$ .

$f (e) = 3 e$

Окончательный ответ: $3 e$ .

$y = 3 e$

Step 11

Это локальные экстремумы $f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$ .

$(e, 3 e)$ — локальный максимум

Step 12