Математический анализ Примеры

$\cos (π x)$

Step 1

Запишем $\cos (π x)$ в виде функции.

$f (x) = \cos (π x)$

Step 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = π x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $π$ на $1$ .

$- \sin (π x) π$

Изменим порядок множителей в $- \sin (π x) π$ .

$- π \sin (π x)$

Step 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π \sin (π x)$ по $x$ равна $- π \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$f'' (x) = - π \frac{d}{d x} \sin (π x)$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π x$ .

$f'' (x) = - π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (π x))$

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - π (\cos (u) \frac{d}{d x} (π x))$

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$f'' (x) = - π (\cos (π x) \frac{d}{d x} (π x))$

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - π \cos (π x) (π \frac{d}{d x} (x))$

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - π^{1 + 1} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \cdot 1$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x)$

Step 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- π \sin (π x) = 0$

Step 5

Разделим каждый член $- π \sin (π x) = 0$ на $- π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- π \sin (π x) = 0$ на $- π$ .

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Разделим $\sin (π x)$ на $1$ .

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $- π$ .

$\sin (π x) = 0$

Step 6

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$π x = \arcsin (0)$

Step 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$π x = 0$

Step 8

Разделим каждый член $π x = 0$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $π x = 0$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $π$ .

$x = 0$

Step 9

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$π x = π - 0$

Step 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π x = π + 0$

Добавим $π$ и $0$ .

$π x = π$

Разделим каждый член $π x = π$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $π x = π$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{π}$

Перепишем это выражение.

$x = 1$

Step 11

Решение уравнения $π x = 0$ .

$x = 0, 1$

Step 12

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- π^{2} \cos (π (0))$

Step 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $π$ на $0$ .

$- π^{2} \cos (0)$

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- π^{2} \cdot 1$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- π^{2}$

Step 14

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Step 15

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \cos (π (0))$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $π$ на $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 1$

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Step 16

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- π^{2} \cos (π (1))$

Step 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $π$ на $1$ .

$- π^{2} \cos (π)$

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- π^{2} (- \cos (0))$

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- π^{2} \cdot - 1$

Умножим $- π^{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 π^{2}$

Умножим $π^{2}$ на $1$ .

$π^{2}$

Step 18

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Step 19

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \cos (π (1))$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $π$ на $1$ .

$f (1) = \cos (π)$

$f (1) = - \cos (0)$

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 1$

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Step 20

Это локальные экстремумы $f (x) = \cos (π x)$ .

$(0, 1)$ — локальный максимум

$(1, - 1)$ — локальный минимум

Step 21