Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{5} 2^{n - 2}$

Step 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Step 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{2^{n + 1 - 2}}{2^{n - 2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2^{n + 1 - 2}$ и $2^{n - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2^{n - 2}$ из $2^{n + 1 - 2}$ .

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим на $1$ .

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2} \cdot 1}$

Сократим общий множитель.

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2} \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{2^{n - 1 - (n - 2)}}{1}$

Разделим $2^{n - 1 - (n - 2)}$ на $1$ .

$r = 2^{n - 1 - (n - 2)}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$r = 2^{n - 1 - n - - 2}$

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$r = 2^{n - 1 - n + 2}$

Объединим противоположные члены в $n - 1 - n + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $n$ из $n$ .

$r = 2^{0 - 1 + 2}$

Вычтем $1$ из $0$ .

$r = 2^{- 1 + 2}$

Добавим $- 1$ и $2$ .

$r = 2^{1}$

Найдем экспоненту.

$r = 2$

Step 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $n$ в $2^{n - 2}$ .

$a = 2^{1 - 2}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2$ из $1$ .

$a = 2^{- 1}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a = \frac{1}{2}$

Step 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2^{5}}{1 - 1 \cdot 2}$

Step 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 32}{1 - 1 \cdot 2}$

Умножим $- 1$ на $32$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 32}{1 - 1 \cdot 2}$

Вычтем $32$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{1 - 1 \cdot 2}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{1 - 2}$

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{- 1}$

Разделим $- 31$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 31$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $31$ .

$\frac{31}{2}$

Step 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{31}{2}$

Десятичная форма:

$15.5$

Форма смешанных чисел:

$15 \frac{1}{2}$