Математический анализ Примеры

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Step 1

Запишем $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ в виде функции.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 \cos (θ)$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$f' (θ) = 2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{2}$ и $g (θ) = \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Изменим порядок членов.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = \frac{d}{d θ} (- 2 \cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 2$ является константой относительно $θ$ , производная $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ по $θ$ равна $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = \cos (θ)$ и $g (θ) = \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} (\sin (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (θ) = - 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 2$ является константой относительно $θ$ , производная $- 2 \sin (θ)$ по $θ$ равна $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} \sin (θ)$

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Вторая производная $f (θ)$ по $θ$ равна $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Step 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) = 0$

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$θ = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Step 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $\frac{π}{3}$ в $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Добавим $4$ и $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Окончательный ответ: $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Подставляя $\frac{π}{3}$ в $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ , найдем точку $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Step 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $0.94719755$ .

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Окончательный ответ: $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

При $0.94719755$ вторая производная имеет вид $- 0.53195951$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{π}{3})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{π}{3})$ , так как $f'' (θ) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(\frac{π}{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $1.14719755$ .

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Окончательный ответ: $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

При $1.14719755$ вторая производная имеет вид $0.50208433$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{π}{3}, \infty)$ , так как $f'' (θ) > 0$

Step 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Step 9