Математический анализ Примеры

$e^{\sin (x)} \cdot \cos (x)$

Step 1

Запишем $e^{\sin (x)} \cdot \cos (x)$ в виде функции.

$f (x) = e^{\sin (x)} \cdot \cos (x)$

Step 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{\sin (x)} \cdot \cos (x) d x$

Step 4

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} d u$

Step 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Step 6

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$e^{\sin (x)} + C$

Step 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{\sin (x)} \cdot \cos (x)$ .

$F (x) =$ $e^{\sin (x)} + C$