Математический анализ Примеры

$| 3 t - 4 |$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = | t |$ и $g (t) = 3 t - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 t - 4$ .

$f' (t) = \frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d t} (3 t - 4)$

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$f' (t) = \frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d t} (3 t - 4)$

Заменим все вхождения $u$ на $3 t - 4$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot \frac{d}{d t} (3 t - 4)$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $3 t - 4$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (\frac{d}{d t} (3 t) + \frac{d}{d t} (- 4))$

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (3 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (- 4))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (- 4))$

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (3 + \frac{d}{d t} (- 4))$

Поскольку $- 4$ является константой относительно $t$ , производная $- 4$ относительно $t$ равна $0$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (3 + 0)$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $3$ и $0$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot 3$

Объединим $\frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |}$ и $3$ .

$f' (t) = \frac{(3 t - 4) \cdot 3}{| 3 t - 4 |}$

Перенесем $3$ влево от $3 t - 4$ .

$f' (t) = \frac{3 \cdot (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (t) = \frac{3 (3 t) + 3 \cdot - 4}{| 3 t - 4 |}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $3$ на $3$ .

$f' (t) = \frac{9 t + 3 \cdot - 4}{| 3 t - 4 |}$

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f' (t) = \frac{9 t - 12}{| 3 t - 4 |}$

Вынесем множитель $3$ из $9 t - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $9 t$ .

$f' (t) = \frac{3 (3 t) - 12}{| 3 t - 4 |}$

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$f' (t) = \frac{3 (3 t) + 3 (- 4)}{| 3 t - 4 |}$

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 t) + 3 (- 4)$ .

$f' (t) = \frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$

Первая производная $f (t)$ по $t$ равна $\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$ .

$\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$3 (3 t - 4) = 0$

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 (3 t - 4) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 (3 t - 4) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (3 t - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (3 t - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Разделим $3 t - 4$ на $1$ .

$3 t - 4 = \frac{0}{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $3$ .

$3 t - 4 = 0$

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 t = 4$

Разделим каждый член $3 t = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 t = 4$ на $3$ .

$\frac{3 t}{3} = \frac{4}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 t}{3} = \frac{4}{3}$

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{4}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим знаменатель в $\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| 3 t - 4 | = 0$

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$3 t - 4 = \pm 0$

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$3 t - 4 = 0$

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 t = 4$

Разделим каждый член $3 t = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 t = 4$ на $3$ .

$\frac{3 t}{3} = \frac{4}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 t}{3} = \frac{4}{3}$

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{4}{3}$

Этап 4

Вычислим $| 3 t - 4 |$ для каждого значения $t$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение в $t = \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $\frac{4}{3}$ вместо $t$ .

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Перепишем это выражение.

$| 4 - 4 |$

Вычтем $4$ из $4$ .

$| 0 |$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$0$

Перечислим все точки.

$(\frac{4}{3}, 0)$

Этап 5