Математический анализ Примеры

$x^{2} \ln (x)$

Step 1

Запишем $x^{2} \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Разделим $x$ на $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $2 x \ln (x) + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \ln (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Step 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 \ln (x) = - 3$

Разделим каждый член $2 \ln (x) = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 \ln (x) = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Перепишем $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Step 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ в $f (x) = x^{2} \ln (x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Перенесем $e^{\frac{3}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Развернем $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ , вынося $- \frac{3}{2}$ из логарифма.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Умножим $\frac{1}{e^{3}}$ на $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{e^{3} \cdot 2}$

Перенесем $2$ влево от $e^{3}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{2 e^{3}}$

Окончательный ответ: $- \frac{3}{2 e^{3}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{3}}$

Подставляя $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ в $f (x) = x^{2} \ln (x)$ , найдем точку $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.12313016$ .

$f'' (0.12313016) = 2 \ln (0.12313016) + 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $2 \ln (0.12313016)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f'' (0.12313016) = \ln ({0.12313016}^{2}) + 3$

Возведем $0.12313016$ в степень $2$ .

$f'' (0.12313016) = \ln (0.01516103) + 3$

Окончательный ответ: $\ln (0.01516103) + 3$ .

$\ln (0.01516103) + 3$

При $0.12313016$ вторая производная имеет вид $- 1.18902654$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ , так как $f'' (x) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.32313016$ .

$f'' (0.32313016) = 2 \ln (0.32313016) + 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $2 \ln (0.32313016)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f'' (0.32313016) = \ln ({0.32313016}^{2}) + 3$

Возведем $0.32313016$ в степень $2$ .

$f'' (0.32313016) = \ln (0.1044131) + 3$

Окончательный ответ: $\ln (0.1044131) + 3$ .

$\ln (0.1044131) + 3$

При $0.32313016$ вторая производная имеет вид $0.74059987$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 9