Математический анализ Примеры

$\ln (x^{2} - 6 x + 1)$ , $(6, 0)$

Step 1

Запишем $\ln (x^{2} - 6 x + 1)$ в виде уравнения.

$y = \ln (x^{2} - 6 x + 1)$

Step 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 6$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} - 6 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 6 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 6 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{2} - 6 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 + 0)$

Добавим $2 x - 6$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6)$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6)$ .

$(2 x - 6) \frac{1}{x^{2} - 6 x + 1}$

Умножим $2 x - 6$ на $\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 6}{x^{2} - 6 x + 1}$

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 6}{x^{2} - 6 x + 1}$

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 3}{x^{2} - 6 x + 1}$

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (x - 3)}{x^{2} - 6 x + 1}$

Найдем производную в $x = 6$ .

$\frac{2 ((6) - 3)}{{(6)}^{2} - 6 \cdot 6 + 1}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $3$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{6^{2} - 6 \cdot 6 + 1}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{36 - 6 \cdot 6 + 1}$

Умножим $- 6$ на $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{36 - 36 + 1}$

Вычтем $36$ из $36$ .

$\frac{2 \cdot 3}{0 + 1}$

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{2 \cdot 3}{1}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6}{1}$

Разделим $6$ на $1$ .

$6$

Step 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Используем угловой коэффициент $6$ и координаты заданной точки $(6, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 6 \cdot (x - (6))$

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 6 \cdot (x - 6)$

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 6 \cdot (x - 6)$

Упростим $6 \cdot (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 6 x + 6 \cdot - 6$

Умножим $6$ на $- 6$ .

$y = 6 x - 36$

Step 4