Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (x)}{x}$

Step 1

Запишем $\frac{\ln (x)}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

По правилу суммы производная $1 - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Разделим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Вынесем множитель $x$ из $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Умножим $- 2 (- \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Step 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$3 - \ln (x^{2}) = 0$

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (x^{2}) = - 3$

Разделим каждый член $- \ln (x^{2}) = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- \ln (x^{2}) = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Разделим $\ln (x^{2})$ на $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 3}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 3$

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{3}$

Перепишем $\ln (x^{2}) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2}$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $x^{2} = e^{3}$ .

$x^{2} = e^{3}$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{e^{3}}$

Упростим $\pm \sqrt{e^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем $e^{2}$ за скобки.

$x = \pm \sqrt{e^{2} e}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm e \sqrt{e}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = e \sqrt{e}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - e \sqrt{e}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = e \sqrt{e}, - e \sqrt{e}$

Step 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $e \sqrt{e}$ в $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $e \sqrt{e}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ на $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ на $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e \sqrt{e} \sqrt{e}}$

Перенесем $\sqrt{e}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Возведем $\sqrt{e}$ в степень $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Возведем $\sqrt{e}$ в степень $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

Добавим $1$ и $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{2}}$

Перепишем ${\sqrt{e}}^{2}$ в виде $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{e}$ в виде $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

Перепишем это выражение.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

Упростим.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{1 + 1}}$

Добавим $1$ и $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

Окончательный ответ: $\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

Подставляя $e \sqrt{e}$ в $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ , найдем точку $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

$- e \sqrt{e}$ не входит в область определения $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ . Точка перегиба в $- e \sqrt{e}$ отсутствует.

$- e \sqrt{e}$ is not in the domain

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Step 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, e \sqrt{e}) \cup (e \sqrt{e}, \infty)$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, e \sqrt{e})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.38168907$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.38168907)}^{2})}{{(4.38168907)}^{3}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $4.38168907$ в степень $2$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{{4.38168907}^{3}}$

Возведем $4.38168907$ в степень $3$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{84.12492089}$

Заменим $e$ приближением.

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (19.1991991)}{84.12492089}$

Логарифм $19.1991991$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $2.95486856$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 2.95486856}{84.12492089}$

Умножим $- 1$ на $2.95486856$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 2.95486856}{84.12492089}$

Вычтем $2.95486856$ из $3$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{0.04513143}{84.12492089}$

Разделим $0.04513143$ на $84.12492089$ .

$f'' (4.38168907) = - 1 \cdot 0.00053648$

Умножим $- 1$ на $0.00053648$ .

$f'' (4.38168907) = - 0.00053648$

Окончательный ответ: $- 0.00053648$ .

$- 0.00053648$

При $4.38168907$ вторая производная имеет вид $- 0.00053648$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, e \sqrt{e})$ .

Убывание на $(- \infty, e \sqrt{e})$ , так как $f'' (x) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(e \sqrt{e}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.58168907$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.58168907)}^{2})}{{(4.58168907)}^{3}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $4.58168907$ в степень $2$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{{4.58168907}^{3}}$

Возведем $4.58168907$ в степень $3$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{96.17824304}$

Заменим $e$ приближением.

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (20.99187473)}{96.17824304}$

Логарифм $20.99187473$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $3.04413544$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 3.04413544}{96.17824304}$

Умножим $- 1$ на $3.04413544$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 3.04413544}{96.17824304}$

Вычтем $3.04413544$ из $3$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{- 0.04413544}{96.17824304}$

Разделим $- 0.04413544$ на $96.17824304$ .

$f'' (4.58168907) = 0.00045889$

Окончательный ответ: $0.00045889$ .

$0.00045889$

При $4.58168907$ вторая производная имеет вид $0.00045889$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(e \sqrt{e}, \infty)$ .

Возрастание в области $(e \sqrt{e}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ .

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Step 9