Математический анализ Примеры

$x^{3} \ln (x)$

Step 1

Запишем $x^{3} \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} \ln (x)$

Step 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{3} \ln (x) d x$

Step 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{3}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Step 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{4}}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Step 6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Step 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $x^{4}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Step 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Step 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ в виде $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Объединим $\frac{\ln (x)}{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C$

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

Step 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{3} \ln (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$