Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \ln (x)$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \ln (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{1}{x})$

Объединим $3$ и $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{3}{x}$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 3 (- x^{- 2})$

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = - 3 x^{- 2}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{1}{x^{2}}$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3}{x^{2}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{2}}$

Step 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{3}{x^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}}$