Математический анализ Примеры

$\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Step 1

Запишем $\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Step 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)} d x$

Step 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} d x$

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot (x) d x$

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\int \csc (x) \cot (x) d x$

Step 5

Поскольку производная $- \csc (x)$ равна $\csc (x) \cot (x)$ , интеграл $\csc (x) \cot (x)$ равен $- \csc (x)$ .

$- \csc (x) + C$

Step 6

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- \csc (x) + C$