Математический анализ Примеры

$f (x) = \cot (x)$

Step 1

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$f' (x) = - \csc^{2} (x)$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \csc^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \csc^{2} (x)$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\csc (x)$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$f'' (x) = - (2 \csc (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \csc (x)) \cot (x)$

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \csc (x)) \cot (x)$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Step 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \cot (x)$