Математический анализ Примеры

$y = e^{4 x} \sin (x)$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{4 x}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{4 x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x})$

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x})$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (4 x))$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (4 x))$

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x))$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \cdot 4)$

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (4 \cdot e^{4 x})$

Изменим порядок членов.

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \sin (x)$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{4 x} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f'' (x) = e^{4 x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 e^{4 x} \sin (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x} \sin (x))$

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}))$

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (4 x)))$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)))$

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)))$

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \cdot 4))$

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (4 e^{4 x}))$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x)) + 4 (\sin (x) (4 e^{4 x}))$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 16 (\sin (x) (e^{4 x}))$

Добавим $\cos (x) (4 e^{4 x})$ и $4 e^{4 x} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $\cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 16 \sin (x) e^{4 x}$

Добавим $4 e^{4 x} \cos (x)$ и $4 e^{4 x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + 8 e^{4 x} \cos (x) + 16 \sin (x) e^{4 x}$

Перенесем $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 1 \cdot (e^{4 x} \sin (x)) + 16 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$

Перепишем $- 1 e^{4 x}$ в виде $- e^{4 x}$ .

$f'' (x) = - e^{4 x} \sin (x) + 16 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$

Добавим $- e^{4 x} \sin (x)$ и $16 e^{4 x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = 15 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$