Математический анализ Примеры

$\sin (\sin (x))$ , $(4 π, 0)$

Step 1

Запишем $\sin (\sin (x))$ в виде уравнения.

$y = \sin (\sin (x))$

Step 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4 π$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

Изменим порядок множителей в $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

Найдем производную в $x = 4 π$ .

$\cos (4 π) \cos (\sin (4 π))$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (0) \cos (\sin (4 π))$

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1 \cos (\sin (4 π))$

Умножим $\cos (\sin (4 π))$ на $1$ .

$\cos (\sin (4 π))$

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\sin (0))$

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\cos (0)$

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1$

Step 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Используем угловой коэффициент $1$ и координаты заданной точки $(4 π, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (4 π))$

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 4 π)$

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 4 π)$

Умножим $x - 4 π$ на $1$ .

$y = x - 4 π$

Step 4