Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} x \ln (x)$

Step 1

Изменим двусторонний предел на правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Step 2

Перепишем $x \ln (x)$ в виде $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Step 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (x)$ неограниченно убывает.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Так как числитель — константа, а знаменатель стремится к $0$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к бесконечности.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- x^{2})$

Объединим $\frac{1}{x}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

Разделим $x$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - x$

Step 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} x$

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$0$