Математический анализ Примеры

$10 \cos^{4} (x)$

Step 1

Запишем $10 \cos^{4} (x)$ в виде функции.

$f (x) = 10 \cos^{4} (x)$

Step 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 \cos^{4} (x)$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$f' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 10 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$f' (x) = 10 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Умножим $4$ на $10$ .

$f' (x) = 40 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 40 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Умножим $- 1$ на $40$ .

$f' (x) = - 40 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 40 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$- 40 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Step 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 40 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 40 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Приравняем $\cos^{3} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $\cos^{3} (x)$ к $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Решим $\cos^{3} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем кубический корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\cos (x) = 0$

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 40 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Step 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Step 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - 40 \cos^{3} (x) \sin (x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 10 \cos^{4} (x)$ в интервале $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π n}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π n}{2} - 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Окончательный ответ: $- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ .

$- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Упростим.

$- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

При $x = \frac{π n}{2} - 1$ производная имеет вид $- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{π n}{2})$ , так как $f' (x) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(\frac{π n}{2}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π n}{2} + 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Окончательный ответ: $- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ .

$- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Упростим.

$- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

При $x = \frac{π n}{2} + 1$ производная имеет вид $- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{π n}{2}, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

Step 9