Математический анализ Примеры

$y = \csc (x) \sec (x)$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = \sec (x)$ .

$f' (x) = \csc (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \csc (x) \sec (x) \tan (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x)$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $\csc (x) \sec (x) \tan (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\csc (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\csc (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \csc (x) {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x) \sec (x))$

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x)))$

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x)))$

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x))))$

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x))))$

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x))))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2}))$

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)))$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)))$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 1 (\sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x)) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 (\sec (x) (\csc^{3} (x)))$

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x)$

Изменим порядок множителей в $\tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x)$

Вычтем $\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ из $- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x)$

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \csc (x) \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} (\frac{1}{\sin (x)}) \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Сократим общий множитель.

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Разделим дроби.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot (\tan (x) \sec (x)) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec (x) \tan (x) \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Умножим $\sec (x) \tan (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$