Математический анализ Примеры

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x) \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (x))$

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = 2 (\sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (- (\sin (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (- (\sin (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin^{2} (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin^{2} (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок множителей в $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (x) \sin (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Вычтем $4 \cos (x) \sin (x)$ из $- 4 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (x) \sin (x)$