Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Step 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Умножим $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Step 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Перепишем это выражение.

$x = 2 (π - 0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = 2 π$

Найдем период $\sin (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Период функции $\sin (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Объединим ответы.

$x = 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 3

Подставляя в $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , найдем точку $(,)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(,)$

Step 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Step 5

Подставим значение из интервала $(- \infty,)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (\frac{- 0.1}{2})}{4}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 0.1$ на $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (- 0.05)}{4}$

Найдем значение $\sin (- 0.05)$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 0.04997916}{4}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 0.04997916$ на $4$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

Умножим $- 1$ на $- 0.01249479$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

Окончательный ответ: $0.01249479$ .

$0.01249479$

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $0.01249479$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty,)$ .

Возрастание в области $(- \infty,)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 6

Подставим значение из интервала $(, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (\frac{0.1}{2})}{4}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0.1$ на $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (0.05)}{4}$

Найдем значение $\sin (0.05)$ .

$f'' (0.1) = - \frac{0.04997916}{4}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0.04997916$ на $4$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.01249479$

Умножим $- 1$ на $0.01249479$ .

$f'' (0.1) = - 0.01249479$

Окончательный ответ: $- 0.01249479$ .

$- 0.01249479$

При $0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.01249479$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(, \infty)$ .

Убывание на $(, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Step 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(,)$ .

$(,)$

Step 8