Математический анализ Примеры

$\cos (x y) = 2 + \sin (y)$

Step 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (2 + \sin (y))$

Step 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Умножим $y$ на $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Изменим порядок членов.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Step 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $2 + \sin (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$0 + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$0 + \cos (y) y'$

Добавим $0$ и $\cos (y) y'$ .

$\cos (y) y'$

Step 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Step 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок множителей в $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок множителей в $\cos (y) y'$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y' \cos (y)$

Вычтем $y' \cos (y)$ из обеих частей уравнения.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' \cos (y) = 0$

Добавим $y \sin (x y)$ к обеим частям уравнения.

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' \sin (x y) - y' \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y))$ .

$y' (- x \sin (x y) - 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Перепишем $- 1 \cos (y)$ в виде $- \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$

Разделим каждый член $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ на $- x \sin (x y) - \cos (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ на $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - \cos (y)}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - (\cos (y))}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \sin (x y)) - (\cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $- (x \sin (x y) + \cos (y))$ в виде $- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

Step 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$