Математический анализ Примеры

$g (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$

Step 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$ в виде ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}]$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4 x + 20$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4 x + 20$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Перенесем ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 20$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])$

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 + 0)$

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Умножим $2 x - 4$ на $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{2 ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})}$

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 2$ и $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Перепишем это выражение.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Упростим.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Умножим ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} - 4 x + 20$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} - 4 x + 20$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Вычтем $2$ из $1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Перенесем ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 20$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + 0))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4))}{x^{2} - 4 x + 20}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u_{2} = {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u_{2}$ вместо ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x - 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x - 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x - 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Добавим $1$ и $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x - 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = u_{2}$ и $b = x - 2$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 2) (u_{2} - (x - 2))}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 2) (u_{2} - x + 2)}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 2) (u_{2} - x + 2)}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x - 2) ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - x + 2)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Развернем $({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x - 2) ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - x + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Объединим противоположные члены в ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок множителей в членах ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ и $x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Добавим $- x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ и $x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 0 + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Добавим ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Изменим порядок множителей в членах ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ и $- 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Вычтем $2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ из $2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 + 0 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Добавим ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Добавим $1$ и $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Разделим $2$ на $2$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 4 x + 20) + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Упростим ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{1}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x \cdot x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Умножим $x$ на $x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + 2 \cdot x - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + 2 x + 2 x - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Умножим $- 2$ на $2$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + 2 x + 2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{- 4 x + 20 + 0 + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Добавим $- 4 x + 20$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{- 4 x + 20 + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Добавим $- 4 x$ и $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{- 2 x + 20 + 2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Объединим противоположные члены в $- 2 x + 20 + 2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{0 + 20 - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Добавим $0$ и $20$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{20 - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Вычтем $4$ из $20$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{\frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$ в виде произведения.

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$

Умножим $\frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$ .

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4 x + 20)}$

Умножим ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} - 4 x + 20$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} - 4 x + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x^{2} - 4 x + 20$ в степень $1$ .

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4 x + 20)}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Step 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$ в виде ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4 x + 20$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4 x + 20$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

Перенесем ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 20$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))$

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (20))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (20))$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (20))$

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + 0)$

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4)$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$ .

$f' (x) = (2 x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}})$

Умножим $2 x - 4$ на $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x) - 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 2)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{2 ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})}$

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Step 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$x - 2 = 0$

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Step 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2$

Step 8

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{16}{{({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{16}{{(4 - 4 \cdot 2 + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{16}{{(4 - 8 + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

Вычтем $8$ из $4$ .

$\frac{16}{{(- 4 + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

Добавим $- 4$ и $20$ .

$\frac{16}{16^{\frac{3}{2}}}$

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{16}{{(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{4^{3}}$

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{16}{64}$

Сократим общий множитель $16$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$\frac{16 (1)}{64}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $16$ из $64$ .

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Step 10

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Step 11

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$g (2) = \sqrt{{(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 20}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $2$ .

$g (2) = \sqrt{4 - 4 \cdot 2 + 20}$

Умножим $- 4$ на $2$ .

$g (2) = \sqrt{4 - 8 + 20}$

Вычтем $8$ из $4$ .

$g (2) = \sqrt{- 4 + 20}$

Добавим $- 4$ и $20$ .

$g (2) = \sqrt{16}$

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$g (2) = \sqrt{4^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$g (2) = 4$

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Step 12

Это локальные экстремумы $g (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$ .

$(2, 4)$ — локальный минимум

Step 13