Математический анализ Примеры

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Step 1

Запишем $y = x^{\frac{2}{3}}$ в виде функции.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Step 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Step 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{3}})$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{3}})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Объединим $x^{- \frac{4}{3}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Step 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Step 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Step 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Step 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Зададим знаменатель в $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Перепишем это выражение.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Упростим.

$27 x = 0^{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x = 0$

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $27$ .

$x = 0$

Step 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Step 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Step 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Умножим $9$ на $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{2}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Step 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Окончательный ответ: $\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Вычтем $1$ из $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Окончательный ответ: $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Step 12