Математический анализ Примеры

$y = 180 x - 0.3 x^{3}$

Step 1

Запишем $y = 180 x - 0.3 x^{3}$ в виде функции.

$f (x) = 180 x - 0.3 x^{3}$

Step 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $180 x - 0.3 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [180 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $180$ является константой относительно $x$ , производная $180 x$ по $x$ равна $180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$180 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

Умножим $180$ на $1$ .

$180 + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 0.3$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.3 x^{3}$ по $x$ равна $- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$180 - 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$180 - 0.3 (3 x^{2})$

Умножим $3$ на $- 0.3$ .

$180 - 0.9 x^{2}$

Изменим порядок членов.

$- 0.9 x^{2} + 180$

Step 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $- 0.9 x^{2} + 180$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [180]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (180)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 0.9$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.9 x^{2}$ по $x$ равна $- 0.9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 0.9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (180)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 0.9 (2 x) + \frac{d}{d x} (180)$

Умножим $2$ на $- 0.9$ .

$f'' (x) = - 1.8 x + \frac{d}{d x} (180)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $180$ является константой относительно $x$ , производная $180$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 1.8 x + 0$

Добавим $- 1.8 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - 1.8 x$

Step 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 0.9 x^{2} + 180 = 0$

Step 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $180 x - 0.3 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (180 x) + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [180 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $180$ является константой относительно $x$ , производная $180 x$ по $x$ равна $180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 180 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

Умножим $180$ на $1$ .

$f' (x) = 180 + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 0.3$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.3 x^{3}$ по $x$ равна $- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 180 - 0.3 \frac{d}{d x} x^{3}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 180 - 0.3 (3 x^{2})$

Умножим $3$ на $- 0.3$ .

$f' (x) = 180 - 0.9 x^{2}$

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 0.9 x^{2} + 180$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 0.9 x^{2} + 180$ .

$- 0.9 x^{2} + 180$

Step 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 0.9 x^{2} + 180 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 0.9 x^{2} + 180 = 0$

Вычтем $180$ из обеих частей уравнения.

$- 0.9 x^{2} = - 180$

Разделим каждый член $- 0.9 x^{2} = - 180$ на $- 0.9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- 0.9 x^{2} = - 180$ на $- 0.9$ .

$\frac{- 0.9 x^{2}}{- 0.9} = \frac{- 180}{- 0.9}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- 0.9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.9 x^{2}}{- 0.9} = \frac{- 180}{- 0.9}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 180}{- 0.9}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 180$ на $- 0.9$ .

$x^{2} = 200$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{200}$

Упростим $\pm \sqrt{200}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $200$ в виде $10^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $100$ из $200$ .

$x = \pm \sqrt{100 (2)}$

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2} \cdot 2}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 10 \sqrt{2}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 10 \sqrt{2}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 10 \sqrt{2}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 10 \sqrt{2}, - 10 \sqrt{2}$

Step 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 10 \sqrt{2}, - 10 \sqrt{2}$

Step 9

Найдем вторую производную в $x = 10 \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 1.8 (10 \sqrt{2})$

Step 10

Умножим $- 1.8 (10 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $10$ на $- 1.8$ .

$- 18 \sqrt{2}$

Умножим $- 18$ на $\sqrt{2}$ .

$- 25.45584412$

Step 11

$x = 10 \sqrt{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 10 \sqrt{2}$ — локальный максимум

Step 12

Найдем значение y, если $x = 10 \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10 \sqrt{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 180 (10 \sqrt{2}) - 0.3 {(10 \sqrt{2})}^{3}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $10$ на $180$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 {(10 \sqrt{2})}^{3}$

Применим правило умножения к $10 \sqrt{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (10^{3} {\sqrt{2}}^{3})$

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 {\sqrt{2}}^{3})$

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{2^{3}})$

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{8})$

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{4 (2)})$

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 (2 \sqrt{2}))$

Умножим $2$ на $1000$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (2000 \sqrt{2})$

Умножим $- 0.3 (2000 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2000$ на $- 0.3$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 600 \sqrt{2}$

Умножим $- 600$ на $\sqrt{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 848.52813742$

Вычтем $848.52813742$ из $1800 \sqrt{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1697.05627484$

Окончательный ответ: $1697.05627484$ .

$y = 1697.05627484$

Step 13

Найдем вторую производную в $x = - 10 \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 1.8 (- 10 \sqrt{2})$

Step 14

Умножим $- 1.8 (- 10 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 10$ на $- 1.8$ .

$18 \sqrt{2}$

Умножим $18$ на $\sqrt{2}$ .

$25.45584412$

Step 15

$x = - 10 \sqrt{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 10 \sqrt{2}$ — локальный минимум

Step 16

Найдем значение y, если $x = - 10 \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 10 \sqrt{2}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = 180 (- 10 \sqrt{2}) - 0.3 {(- 10 \sqrt{2})}^{3}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 10$ на $180$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 {(- 10 \sqrt{2})}^{3}$

Применим правило умножения к $- 10 \sqrt{2}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 ({(- 10)}^{3} {\sqrt{2}}^{3})$

Возведем $- 10$ в степень $3$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 {\sqrt{2}}^{3})$

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{2^{3}})$

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{8})$

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{4 (2)})$

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 (2 \sqrt{2}))$

Умножим $2$ на $- 1000$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 2000 \sqrt{2})$

Умножим $- 0.3 (- 2000 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 2000$ на $- 0.3$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} + 600 \sqrt{2}$

Умножим $600$ на $\sqrt{2}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} + 848.52813742$

Добавим $- 1800 \sqrt{2}$ и $848.52813742$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1697.05627484$

Окончательный ответ: $- 1697.05627484$ .

$y = - 1697.05627484$

Step 17

Это локальные экстремумы $f (x) = 180 x - 0.3 x^{3}$ .

$(10 \sqrt{2}, 1697.05627484)$ — локальный максимум

$(- 10 \sqrt{2}, - 1697.05627484)$ — локальный минимум

Step 18