Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{4} - 24 x^{2} + 108}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{4} - 24 x^{2} + 108}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{4} - 24 x^{2} + 108 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 24 u + 108 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.2

Разложим $u^{2} - 24 u + 108$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $108$ , а сумма — $- 24$ .

$- 18, - 6$

Этап 2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 18) (u - 6) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 18 = 0$

$u - 6 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $u - 18$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $u - 18$ к $0$ .

$u - 18 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$u = 18$

Этап 2.5

Приравняем $u - 6$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $u - 6$ к $0$ .

$u - 6 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$u = 6$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 18) (u - 6) = 0$ верно.

$u = 18, 6$

Этап 2.7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 18$

${(x^{2})}^{1} = 6$

Этап 2.8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 18$

Этап 2.9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

Этап 2.9.2

Упростим $\pm \sqrt{18}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Этап 2.9.2.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Этап 2.9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Этап 2.9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 \sqrt{2}$

Этап 2.9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Этап 2.9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Этап 2.10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 6$

Этап 2.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 6$

Этап 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Этап 2.11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{6}$

Этап 2.11.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{6}$

Этап 2.11.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Этап 2.12

Решением $x^{4} - 24 x^{2} + 108 = 0$ является $x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ .

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3 \sqrt{2}) \cup (- 3 \sqrt{2}, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}) \cup (3 \sqrt{2}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1.39979505] \cup [- 0.04464939, \frac{1}{27}] \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \leq - 1.39979505, - 0.04464939 \leq y \leq \frac{1}{27}, y > 1}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 3 \sqrt{2}) \cup (- 3 \sqrt{2}, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}) \cup (3 \sqrt{2}, \infty), {x | x \neq \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}}$

Диапазон: $(- \infty, - 1.39979505] \cup [- 0.04464939, \frac{1}{27}] \cup (1, \infty), {y | y \leq - 1.39979505, - 0.04464939 \leq y \leq \frac{1}{27}, y > 1}$

Этап 6