Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 3 x + 6$

Step 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Умножим $- 3$ на $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [6]$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Добавим $2 x - 3$ и $0$ .

$2 x - 3$

Step 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2$

Step 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x - 3 = 0$

Step 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = 2 x - 3 + \frac{d}{d x} (6)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3 + 0$

Добавим $2 x - 3$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - 3$ .

$2 x - 3$

Step 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Step 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{3}{2}$

Step 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{3}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2$

Step 9

$x = \frac{3}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3}{2}$ — локальный минимум

Step 10

Найдем значение y, если $x = \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{2} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Умножим $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 6$

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 6$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 6$

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 6$

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 6$

Запишем $6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1}$

Умножим $\frac{6}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Умножим $\frac{6}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 6 \cdot 4}{4}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 6 \cdot 4}{4}$

Умножим $6$ на $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 24}{4}$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $18$ из $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 24}{4}$

Добавим $- 9$ и $24$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{15}{4}$

Окончательный ответ: $\frac{15}{4}$ .

$y = \frac{15}{4}$

Step 11

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} - 3 x + 6$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$ — локальный минимум

Step 12