Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$

Step 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Умножим $2$ на $- 9$ .

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Умножим $12$ на $1$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

Добавим $6 x^{2} - 18 x + 12$ и $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Step 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 18 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Умножим $- 18$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + \frac{d}{d x} (12)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + 0$

Добавим $12 x - 18$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18$

Step 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Step 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Умножим $12$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

Добавим $6 x^{2} - 18 x + 12$ и $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Step 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

Вынесем множитель $6$ из $- 18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ .

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ .

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 2, 1$

Step 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2, 1$

Step 8

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 (2) - 18$

Step 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $12$ на $2$ .

$24 - 18$

Вычтем $18$ из $24$ .

$6$

Step 10

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Step 11

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на ${(2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на ${(2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Добавим $1$ и $3$ .

$f (2) = 2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (2) = 16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 16 - 9 \cdot 4 + 12 (2) + 1$

Умножим $- 9$ на $4$ .

$f (2) = 16 - 36 + 12 (2) + 1$

Умножим $12$ на $2$ .

$f (2) = 16 - 36 + 24 + 1$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $36$ из $16$ .

$f (2) = - 20 + 24 + 1$

Добавим $- 20$ и $24$ .

$f (2) = 4 + 1$

Добавим $4$ и $1$ .

$f (2) = 5$

Окончательный ответ: $5$ .

$y = 5$

Step 12

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 (1) - 18$

Step 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $12$ на $1$ .

$12 - 18$

Вычтем $18$ из $12$ .

$- 6$

Step 14

$x = 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный максимум

Step 15

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = 2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 2 - 9 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Умножим $- 9$ на $1$ .

$f (1) = 2 - 9 + 12 (1) + 1$

Умножим $12$ на $1$ .

$f (1) = 2 - 9 + 12 + 1$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $9$ из $2$ .

$f (1) = - 7 + 12 + 1$

Добавим $- 7$ и $12$ .

$f (1) = 5 + 1$

Добавим $5$ и $1$ .

$f (1) = 6$

Окончательный ответ: $6$ .

$y = 6$

Step 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ .

$(2, 5)$ — локальный минимум

$(1, 6)$ — локальный максимум

Step 17