Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{(x^{3} + 27)}{x + 3}$

Step 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{3} + 27}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{3} + lim_{x \to - 3} 27}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + lim_{x \to - 3} 27}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Найдем предел $27$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + 27}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{3} + 27}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$\frac{- 27 + 27}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Добавим $- 27$ и $27$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{0}{- 3 + 3}$

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 3} \frac{(x^{3} + 27)}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 27]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 27]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

По правилу суммы производная $x^{3} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2}}{1 + 0}$

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2}}{1}$

Разделим $3 x^{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} 3 x^{2}$

Step 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to - 3} x^{2}$

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}$

Step 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$3 {(- 3)}^{2}$

Step 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$3 \cdot 9$

Умножим $3$ на $9$ .

$27$