Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Step 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} 1 - \cos (x)}$

Step 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 1 - \cos (x)}$

Step 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 1 - lim_{x \to π} \cos (x)}$

Step 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{1 - lim_{x \to π} \cos (x)}$

Step 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{1 - \cos (lim_{x \to π} x)}$

Step 6

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{\sin (π)}{1 - \cos (lim_{x \to π} x)}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{\sin (π)}{1 - \cos (π)}$

Step 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\sin (0)}{1 - \cos (π)}$

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (π)}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{0}{1 - - \cos (0)}$

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - (- 1 \cdot 1)}$

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - - 1}$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{0}{1 + 1}$

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{0}{2}$

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2 (0)}{2}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{1}$

Разделим $0$ на $1$ .

$0$