Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \ln (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$

Step 1

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1})$

Step 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\ln (\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\ln (\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\ln (\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Вычтем $1$ из $1$ .

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1})$

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1})$

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\ln (\frac{0}{1 - 1 \cdot 1})$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (\frac{0}{1 - 1})$

Вычтем $1$ из $1$ .

$\ln (\frac{0}{0})$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\ln (\frac{0}{0})$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\ln (\frac{0}{0})$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\ln (\frac{0}{0})$

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]})$

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + 0})$

Добавим $1$ и $0$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1})$

Разделим $2 x$ на $1$ .

$\ln (lim_{x \to 1} 2 x)$

Step 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\ln (2 lim_{x \to 1} x)$

Step 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\ln (2 \cdot 1)$

Step 5

Умножим $2$ на $1$ .

$\ln (2)$

Step 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (2)$

Десятичная форма:

$0.69314718 \dots$