Математический анализ Примеры

$x^{\cos (2 x)}$

Step 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $x^{\cos (2 x)}$ в виде $e^{\ln (x^{\cos (2 x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (2 x)})}]$

Развернем $\ln (x^{\cos (2 x)})$ , вынося $\cos (2 x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (2 x) \ln (x)}]$

Step 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (2 x) \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (2 x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (2 x) \ln (x)$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Step 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (2 x)$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 5

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Step 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1))$

Умножим $- 2$ на $1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x)))$

Step 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} \frac{\cos (2 x)}{x} + e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x)))$

Объединим $e^{\cos (2 x) \ln (x)}$ и $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$\frac{e^{\cos (2 x) \ln (x)} \cos (2 x)}{x} + e^{\cos (2 x) \ln (x)} \ln (x) (- 2 \sin (2 x))$

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{\cos (2 x) \ln (x)} \sin (2 x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (2 x) \ln (x)} \cos (2 x)}{x}$