Математический анализ Примеры

$\int \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x)} d x$

Step 1

Пусть $u = \cot (x)$ . Тогда $d u = - \csc^{2} (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u = \cot (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u$

Step 2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u$

Step 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u$

Step 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Step 5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C$

Step 6

Заменим все вхождения $u$ на $\cot (x)$ .

$- \ln (| \cot (x) |) + C$