Математический анализ Примеры

$y = - \frac{3}{x^{2}}$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2 \cdot - 1}$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{- 2}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$f' (x) = - 3 (- 2 x^{- 3})$

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$f' (x) = 6 x^{- 3}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 6 (\frac{1}{x^{3}})$

Объединим $6$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{6}{x^{3}}$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6}{x^{3}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{3 \cdot - 1})$

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{- 3})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$f'' (x) = 6 (- 3 x^{- 4})$

Умножим $- 3$ на $6$ .

$f'' (x) = - 18 x^{- 4}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{1}{x^{4}}$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $- 18$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 18}{x^{4}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{18}{x^{4}}$

Step 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{18}{x^{4}}$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f''' (x) = - 18 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 18 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 18 \frac{d}{d x} x^{4 \cdot - 1}$

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f''' (x) = - 18 \frac{d}{d x} x^{- 4}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$f''' (x) = - 18 (- 4 x^{- 5})$

Умножим $- 4$ на $- 18$ .

$f''' (x) = 72 x^{- 5}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 72 (\frac{1}{x^{5}})$

Объединим $72$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f''' (x) = \frac{72}{x^{5}}$

Step 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $72$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{72}{x^{5}}$ по $x$ равна $72 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f^{4} (x) = 72 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{1}{x^{5}}$ в виде ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 72 \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 72 \frac{d}{d x} (x^{5 \cdot - 1})$

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = 72 \frac{d}{d x} (x^{- 5})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 5$ .

$f^{4} (x) = 72 (- 5 x^{- 6})$

Умножим $- 5$ на $72$ .

$f^{4} (x) = - 360 x^{- 6}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 360 \frac{1}{x^{6}}$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $- 360$ и $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 360}{x^{6}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - \frac{360}{x^{6}}$