Математический анализ Примеры

$\int t \sec^{2} (9 t) d t$

Step 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t$ и $d v = \sec^{2} (9 t)$ .

$t (\frac{1}{9} \tan (9 t)) - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{9}$ и $\tan (9 t)$ .

$t \frac{\tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Объединим $t$ и $\frac{\tan (9 t)}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 3

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - (\frac{1}{9} \int \tan (9 t) d t)$

Step 4

Пусть $u = 9 t$ . Тогда $d u = 9 d t$ , следовательно $\frac{1}{9} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u = 9 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $9 t$ .

$\frac{d}{d t} [9 t]$

Поскольку $9$ является константой относительно $t$ , производная $9 t$ по $t$ равна $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Умножим $9$ на $1$ .

$9$

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \tan (u) \frac{1}{9} d u$

Step 5

Объединим $\tan (u)$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \frac{\tan (u)}{9} d u$

Step 6

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} \int \tan (u) d u)$

Step 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{1}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int \tan (u) d u$

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} \int \tan (u) d u$

Step 8

Интеграл $\tan (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Step 9

Перепишем $\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$ в виде $\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$ .

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$

Step 10

Заменим все вхождения $u$ на $9 t$ .

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (9 t) |) + C$