Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Step 1

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0 u_{upper} = 2 π$

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Step 2

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Step 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Step 4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Step 5

Найдем значение $\sin (u)$ в $2 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Step 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)$

Добавим $\sin (2 π)$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 π)$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 π)$ .

$\frac{\sin (2 π)}{2}$

Step 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{\sin (0)}{2}$

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{2}$

Разделим $0$ на $2$ .

$0$