Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$

Step 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $- x^{3} + 9 x^{2} - 52$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Умножим $2$ на $9$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 52)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 52$ является константой относительно $x$ , производная $- 52$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

Добавим $- 3 x^{2} + 18 x$ и $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 18 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \cdot 1$

Умножим $18$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 6 x + 18$ .

$- 6 x + 18$

Step 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 6 x + 18 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 6 x + 18 = 0$

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$- 6 x = - 18$

Разделим каждый член $- 6 x = - 18$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- 6 x = - 18$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 18}{- 6}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 18$ на $- 6$ .

$x = 3$

Step 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $3$ в $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = - {(3)}^{3} + 9 {(3)}^{2} - 52$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = - 1 \cdot 27 + 9 {(3)}^{2} - 52$

Умножим $- 1$ на $27$ .

$f (3) = - 27 + 9 {(3)}^{2} - 52$

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = - 27 + 9 \cdot 9 - 52$

Умножим $9$ на $9$ .

$f (3) = - 27 + 81 - 52$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 27$ и $81$ .

$f (3) = 54 - 52$

Вычтем $52$ из $54$ .

$f (3) = 2$

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Подставляя $3$ в $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$ , найдем точку $(3, 2)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(3, 2)$

Step 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Step 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.9$ .

$f'' (2.9) = - 6 \cdot 2.9 + 18$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 6$ на $2.9$ .

$f'' (2.9) = - 17.4 + 18$

Добавим $- 17.4$ и $18$ .

$f'' (2.9) = 0.6$

Окончательный ответ: $0.6$ .

$0.6$

При $2.9$ вторая производная имеет вид $0.6$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 3)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 3)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 6

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.1$ .

$f'' (3.1) = - 6 \cdot 3.1 + 18$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 6$ на $3.1$ .

$f'' (3.1) = - 18.6 + 18$

Добавим $- 18.6$ и $18$ .

$f'' (3.1) = - 0.6$

Окончательный ответ: $- 0.6$ .

$- 0.6$

При $3.1$ вторая производная имеет вид $- 0.6$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(3, \infty)$ .

Убывание на $(3, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Step 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(3, 2)$ .

$(3, 2)$

Step 8