Математический анализ Примеры

$f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$

Step 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $150 + 8 x^{3} + x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [150] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (150) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Поскольку $150$ является константой относительно $x$ , производная $150$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 0 + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Умножим $3$ на $8$ .

$f' (x) = 0 + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 24 x^{2} + 4 x^{3}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $0$ и $24 x^{2}$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 4 x^{3}$

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 24 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{2}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Умножим $2$ на $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{2} + 48 x$

Step 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} + 48 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x^{2} + 48 x = 0$

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2} + 48 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2}$ .

$12 x (x) + 48 x = 0$

Вынесем множитель $12 x$ из $48 x$ .

$12 x (x) + 12 x (4) = 0$

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x) + 12 x (4)$ .

$12 x (x + 4) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, - 4$

Step 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $0$ в $f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 150 + 8 {(0)}^{3} + {(0)}^{4}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 150 + 8 \cdot 0 + {(0)}^{4}$

Умножим $8$ на $0$ .

$f (0) = 150 + 0 + {(0)}^{4}$

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 150 + 0 + 0$

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $150$ и $0$ .

$f (0) = 150 + 0$

Добавим $150$ и $0$ .

$f (0) = 150$

Окончательный ответ: $150$ .

$150$

Подставляя $0$ в $f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ , найдем точку $(0, 150)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 150)$

Подставим $- 4$ в $f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = 150 + 8 {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{4}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f (- 4) = 150 + 8 \cdot - 64 + {(- 4)}^{4}$

Умножим $8$ на $- 64$ .

$f (- 4) = 150 - 512 + {(- 4)}^{4}$

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$f (- 4) = 150 - 512 + 256$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $512$ из $150$ .

$f (- 4) = - 362 + 256$

Добавим $- 362$ и $256$ .

$f (- 4) = - 106$

Окончательный ответ: $- 106$ .

$- 106$

Подставляя $- 4$ в $f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ , найдем точку $(- 4, - 106)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 4, - 106)$

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 150), (- 4, - 106)$

Step 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 4)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 12 {(- 4.1)}^{2} + 48 (- 4.1)$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 4.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 4.1) = 12 \cdot 16.81 + 48 (- 4.1)$

Умножим $12$ на $16.81$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 + 48 (- 4.1)$

Умножим $48$ на $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 - 196.8$

Вычтем $196.8$ из $201.72$ .

$f'' (- 4.1) = 4.92$

Окончательный ответ: $4.92$ .

$4.92$

При $- 4.1$ вторая производная имеет вид $4.92$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 4)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 4)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- 4, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 + 48 (- 2)$

Умножим $12$ на $4$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48 (- 2)$

Умножим $48$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 - 96$

Вычтем $96$ из $48$ .

$f'' (- 2) = - 48$

Окончательный ответ: $- 48$ .

$- 48$

При $- 2$ вторая производная имеет вид $- 48$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 4, 0)$ .

Убывание на $(- 4, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 48 (0.1)$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 48 (0.1)$

Умножим $12$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 48 (0.1)$

Умножим $48$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 4.8$

Добавим $0.12$ и $4.8$ .

$f'' (0.1) = 4.92$

Окончательный ответ: $4.92$ .

$4.92$

При $0.1$ вторая производная имеет вид $4.92$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 4, - 106), (0, 150)$ .

$(- 4, - 106), (0, 150)$

Step 9