Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 36}$

Step 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 36}$ в виде ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})$

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 36$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 36$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Перенесем ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

По правилу суммы производная $x^{2} + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Объединим $2$ и $\frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Объединим $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Умножим ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$

Чтобы записать ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Умножим ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Упростим ${(x^{2} + 36)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x^{2} + 36$ и $g (x) = {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Упростим.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $4 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Перенесем $4$ влево от ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 36$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 36$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{{(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Перенесем ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

По правилу суммы производная $x^{2} + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)))}{x^{2} + 36}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (36)))}{x^{2} + 36}$

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 36}$

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 36}$

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 36}$

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) \frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 36) (\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 36}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 36) (\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 36}$

Умножим $- 1$ на $36$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 36) (\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 36}$

Умножим $- 2 x^{2} - 36$ на $\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (- 18)) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2}) + 2 (- 18)$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Чтобы записать $4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Перепишем $\frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2 x$ из $4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 18) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2 x$ из $4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Вынесем множитель $2 x$ из $2 (- x^{2} - 18) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 18)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 ({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 36) - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Упростим $2 {(x^{2} + 36)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 36) - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 2 \cdot 36 - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Умножим $2$ на $36$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 72 - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 72 - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Вычтем $18$ из $72$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 36}$

Умножим $\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{2} + 36}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 36)}$

Умножим ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 36$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x^{2} + 36$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 36)}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$2 x (x^{2} + 54) = 0$

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 54 = 0$

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Приравняем $x^{2} + 54$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x^{2} + 54$ к $0$ .

$x^{2} + 54 = 0$

Решим $x^{2} + 54 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $54$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 54$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 54}$

Упростим $\pm \sqrt{- 54}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $- 54$ в виде $- 1 (54)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (54)}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (54)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{54}$

Перепишем $54$ в виде $3^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $9$ из $54$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (6)}$

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 6}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{6})$

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{6}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i \sqrt{6}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i \sqrt{6}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i \sqrt{6}, - 3 i \sqrt{6}$

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x^{2} + 54) = 0$ верно.

$x = 0, 3 i \sqrt{6}, - 3 i \sqrt{6}$

Step 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $0$ в $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 36}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = (0) \sqrt{{(0)}^{2} + 36}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0 + 36}$

Добавим $0$ и $36$ .

$f (0) = 0 \sqrt{36}$

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{6^{2}}$

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = 0 \cdot 6$

Умножим $0$ на $6$ .

$f (0) = 0$

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Подставляя $0$ в $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 36}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Step 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 54)}{{({(- 0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} + 54)}{{({(- 0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Умножим $- 0.2$ на ${(- 0.1)}^{2} + 54$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{({(- 0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 0.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{(0.01 + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Добавим $0.01$ и $36$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{36.01}^{\frac{3}{2}}}$

Перепишем $36.01$ в виде ${6.00083327}^{2}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{({6.00083327}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Перепишем это выражение.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{6.00083327}^{3}}$

Возведем $6.00083327$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{216.09000624}$

Разделим $- 10.802$ на $216.09000624$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.04998842$

Окончательный ответ: $- 0.04998842$ .

$- 0.04998842$

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.04998842$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Step 6

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 54)}{{({(0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} + 54)}{{({0.1}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Умножим $0.2$ на ${0.1}^{2} + 54$ .

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{({0.1}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{(0.01 + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Добавим $0.01$ и $36$ .

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{36.01}^{\frac{3}{2}}}$

Перепишем $36.01$ в виде ${6.00083327}^{2}$ .

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{({6.00083327}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Перепишем это выражение.

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{6.00083327}^{3}}$

Возведем $6.00083327$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{216.09000624}$

Разделим $10.802$ на $216.09000624$ .

$f'' (0.1) = 0.04998842$

Окончательный ответ: $0.04998842$ .

$0.04998842$

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.04998842$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Step 8