Математический анализ Примеры

$y = x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 + 0$

Добавим $3 x^{2} + 2 x - 5$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 2 x - 5$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

Запишем $2$ как $- 3$ плюс $5$

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Приравняем $3 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $3 x + 5$ к $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Решим $3 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 5$

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{3}$

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{5}{3}$

Step 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 4

Вычислим $x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $x$ .

${(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$1 + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 1 - 5 \cdot 1 - 2$

Умножим $- 5$ на $1$ .

$1 + 1 - 5 - 2$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $1$ .

$2 - 5 - 2$

Вычтем $5$ из $2$ .

$- 3 - 2$

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$- 5$

Найдем значение в $x = - \frac{5}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $- \frac{5}{3}$ вместо $x$ .

${(- \frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $- \frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Применим правило умножения к $\frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Возведем $5$ в степень $3$ .

$- \frac{125}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{125}{27} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Применим правило умножения к $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{125}{27} + 1 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Умножим $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Умножим $- 5 (- \frac{5}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + 5 (\frac{5}{3}) - 2$

Объединим $5$ и $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5 \cdot 5}{3} - 2$

Умножим $5$ на $5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 2$

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{25}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3} - 2$

Умножим $\frac{25}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} - 2$

Умножим $\frac{25}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{9} - 2$

Умножим $\frac{25}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} - 2$

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2}{1}$

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Умножим $3$ на $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Умножим $3$ на $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{27} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 125 + 25 \cdot 3 + 25 \cdot 9 - 2 \cdot 27}{27}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $25$ на $3$ .

$\frac{- 125 + 75 + 25 \cdot 9 - 2 \cdot 27}{27}$

Умножим $25$ на $9$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 - 2 \cdot 27}{27}$

Умножим $- 2$ на $27$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 - 54}{27}$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 125$ и $75$ .

$\frac{- 50 + 225 - 54}{27}$

Добавим $- 50$ и $225$ .

$\frac{175 - 54}{27}$

Вычтем $54$ из $175$ .

$\frac{121}{27}$

Перечислим все точки.

$(1, - 5), (- \frac{5}{3}, \frac{121}{27})$

Step 5