Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} {(1 - x)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(1 - x)}^{2}$ в виде $(1 - x) (1 - x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} ((1 - x) (1 - x)))$

Этап 1.1.2

Развернем $(1 - x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 (1 - x) - x (1 - x)))$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)))$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)))$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)))$

Этап 1.1.3.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x \cdot 1 - x (- x)))$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x - x (- x)))$

Этап 1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)))$

Этап 1.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))))$

Этап 1.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x^{2})))$

Этап 1.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x + 1 x^{2}))$

Этап 1.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x + x^{2}))$

Этап 1.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - 2 x + x^{2}))$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 1 - 2 x + x^{2}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.5.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.5.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.5.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 + 2 x) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 + 2 x) + (1 - 2 x + x^{2}) (2 x)$

Этап 1.1.5.9

Перенесем $2$ влево от $1 - 2 x + x^{2}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 + 2 x) + 2 \cdot ((1 - 2 x + x^{2}) x)$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (2 x) + 2 (1 - 2 x + x^{2}) x$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (2 x) + (2 \cdot 1 + 2 (- 2 x) + 2 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (2 x) + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Перенесем $- 2$ влево от $x^{2}$ .

$f' (x) = - 2 \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 2 + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 2 + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = - 2 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot 2 + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + x^{3} \cdot 2 + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.3

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 \cdot x^{3} + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 x \cdot x + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 (x \cdot x) + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 (x \cdot x) + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 x^{1 + 1} + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 x^{2} + 2 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2})$

Этап 1.1.6.4.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 x^{2} + 2 x^{1 + 2}$

Этап 1.1.6.4.12

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 x^{2} + 2 x^{3}$

Этап 1.1.6.4.13

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$

Этап 1.1.6.4.14

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$f' (x) = - 6 x^{2} + 4 x^{3} + 2 x$

Этап 1.1.6.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 6 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 6 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (1) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ .

$2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (1) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (1)$ .

$2 x (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$2 x (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.2

Запишем $- 3$ как $- 1$ плюс $- 2$

$2 x (2 x^{2} + (- 1 - 2) x + 1) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x^{2} - 1 x - 2 x + 1) = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 x ((2 x^{2} - 1 x) - 2 x + 1) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (x (2 x - 1) - (2 x - 1)) = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$2 x ((2 x - 1) (x - 1)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x (2 x - 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (2 x - 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{1}{2}, 1$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, \frac{1}{2}, 1$ .

$0, \frac{1}{2}, 1$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 6 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - 4 - 6 \cdot 1 + 2 (- 1)$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 6 + 2 (- 1)$

Этап 5.2.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 6 - 2$

Этап 5.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $6$ из $- 4$ .

$f' (- 1) = - 10 - 2$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 10$ .

$f' (- 1) = - 12$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 12$ .

$- 12$

Этап 5.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- 12$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \frac{1}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.25$ .

$f' (0.25) = 4 {(0.25)}^{3} - 6 {(0.25)}^{2} + 2 (0.25)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $0.25$ в степень $3$ .

$f' (0.25) = 4 \cdot 0.015625 - 6 {(0.25)}^{2} + 2 (0.25)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $4$ на $0.015625$ .

$f' (0.25) = 0.0625 - 6 {(0.25)}^{2} + 2 (0.25)$

Этап 6.2.1.3

Возведем $0.25$ в степень $2$ .

$f' (0.25) = 0.0625 - 6 \cdot 0.0625 + 2 (0.25)$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 6$ на $0.0625$ .

$f' (0.25) = 0.0625 - 0.375 + 2 (0.25)$

Этап 6.2.1.5

Умножим $2$ на $0.25$ .

$f' (0.25) = 0.0625 - 0.375 + 0.5$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $0.375$ из $0.0625$ .

$f' (0.25) = - 0.3125 + 0.5$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 0.3125$ и $0.5$ .

$f' (0.25) = 0.1875$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.1875$ .

$0.1875$

Этап 6.3

При $x = 0.25$ производная имеет вид $0.1875$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \frac{1}{2})$ .

Возрастание в области $(0, \frac{1}{2})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0.5, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.75$ .

$f' (0.75) = 4 {(0.75)}^{3} - 6 {(0.75)}^{2} + 2 (0.75)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.75$ в степень $3$ .

$f' (0.75) = 4 \cdot 0.421875 - 6 {(0.75)}^{2} + 2 (0.75)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $4$ на $0.421875$ .

$f' (0.75) = 1.6875 - 6 {(0.75)}^{2} + 2 (0.75)$

Этап 7.2.1.3

Возведем $0.75$ в степень $2$ .

$f' (0.75) = 1.6875 - 6 \cdot 0.5625 + 2 (0.75)$

Этап 7.2.1.4

Умножим $- 6$ на $0.5625$ .

$f' (0.75) = 1.6875 - 3.375 + 2 (0.75)$

Этап 7.2.1.5

Умножим $2$ на $0.75$ .

$f' (0.75) = 1.6875 - 3.375 + 1.5$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $3.375$ из $1.6875$ .

$f' (0.75) = - 1.6875 + 1.5$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 1.6875$ и $1.5$ .

$f' (0.75) = - 0.1875$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 0.1875$ .

$- 0.1875$

Этап 7.3

При $x = 0.75$ производная имеет вид $- 0.1875$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0.5, 1)$ .

Убывание на $(\frac{1}{2}, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 2 (2)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 6 {(2)}^{2} + 2 (2)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $4$ на $8$ .

$f' (2) = 32 - 6 {(2)}^{2} + 2 (2)$

Этап 8.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 32 - 6 \cdot 4 + 2 (2)$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$f' (2) = 32 - 24 + 2 (2)$

Этап 8.2.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (2) = 32 - 24 + 4$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $24$ из $32$ .

$f' (2) = 8 + 4$

Этап 8.2.2.2

Добавим $8$ и $4$ .

$f' (2) = 12$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $12$ .

$12$

Этап 8.3

При $x = 2$ производная имеет вид $12$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, \frac{1}{2}), (1, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 0), (\frac{1}{2}, 1)$

Этап 10