Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} + 6 x^{3}$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 6 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 (3 x^{2})$

Умножим $3$ на $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 18 x^{2}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2}$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $12 x^{3}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} = 0$

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $18 x^{2}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3) = 0$

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3)$ .

$6 x^{2} (2 x + 3) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 x^{2} (2 x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Step 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - \frac{3}{2}$ .

$0, - \frac{3}{2}$

Step 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{3}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{3} + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 2.5$ в степень $3$ .

$f' (- 2.5) = 12 \cdot - 15.625 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Умножим $12$ на $- 15.625$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Возведем $- 2.5$ в степень $2$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 \cdot 6.25$

Умножим $18$ на $6.25$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 112.5$

Добавим $- 187.5$ и $112.5$ .

$f' (- 2.5) = - 75$

Окончательный ответ: $- 75$ .

$- 75$

При $x = - 2.5$ производная имеет вид $- 75$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{3}{2})$ , так как $f' (x) < 0$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- 1.5, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.75$ .

$f' (- 0.75) = 12 {(- 0.75)}^{3} + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 0.75$ в степень $3$ .

$f' (- 0.75) = 12 \cdot - 0.421875 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Умножим $12$ на $- 0.421875$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Возведем $- 0.75$ в степень $2$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 \cdot 0.5625$

Умножим $18$ на $0.5625$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 10.125$

Добавим $- 5.0625$ и $10.125$ .

$f' (- 0.75) = 5.0625$

Окончательный ответ: $5.0625$ .

$5.0625$

При $x = - 0.75$ производная имеет вид $5.0625$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 1.5, 0)$ .

Возрастание в области $(- \frac{3}{2}, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

Умножим $12$ на $1$ .

$f' (1) = 12 + 18 {(1)}^{2}$

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 12 + 18 \cdot 1$

Умножим $18$ на $1$ .

$f' (1) = 12 + 18$

Добавим $12$ и $18$ .

$f' (1) = 30$

Окончательный ответ: $30$ .

$30$

При $x = 1$ производная имеет вид $30$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Step 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \frac{3}{2}, 0), (0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - \frac{3}{2})$

Step 9