Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Перенесем ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Объединим $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Step 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{x}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}}}$

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Зададим знаменатель в $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Перепишем это выражение.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Упростим.

$1 - x^{2} = 0^{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 1$

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 - x^{2}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - x^{2} < 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} < - 1$

Разделим каждый член $- x^{2} < - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- x^{2} < - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} > 1$

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > \sqrt{1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | > 1$

Запишем $| x | > 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x > 1$

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x > 1$

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

Найдем пересечение $x > 1$ и $x \geq 0$ .

$x > 1$

Разделим каждый член $- x > 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- x > 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x < - 1$

Найдем объединение решений.

$x < - 1$ или $x > 1$

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Step 4

Вычислим $\sqrt{1 - x^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sqrt{1 - {(0)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{1 - 0}$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Добавим $1$ и $0$ .

$\sqrt{1}$

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$1$

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$\sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Вычтем $1$ из $1$ .

$\sqrt{0}$

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0$

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\sqrt{1 - {(1)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 - 1 \cdot 1}$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Вычтем $1$ из $1$ .

$\sqrt{0}$

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0$

Перечислим все точки.

$(0, 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Step 5