Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x - 2 \frac{d}{d x} x$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x - 2 \cdot 1$

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x - 2$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x - 2$ .

$6 x - 2$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x - 2 = 0$

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 2$

Разделим каждый член $6 x = 2$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $6 x = 2$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{2}{6}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{2}{6}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{6}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{6}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{3}$

Step 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 4

Вычислим $3 x^{2} - 2 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение в $x = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $\frac{1}{3}$ вместо $x$ .

$3 {(\frac{1}{3})}^{2} - 2 (\frac{1}{3})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$3 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 2 (\frac{1}{3})$

Единица в любой степени равна единице.

$3 \frac{1}{3^{2}} - 2 (\frac{1}{3})$

Возведем $3$ в степень $2$ .

$3 (\frac{1}{9}) - 2 (\frac{1}{3})$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 \frac{1}{3 (3)} - 2 (\frac{1}{3})$

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1}{3 \cdot 3} - 2 (\frac{1}{3})$

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3})$

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{3}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} - \frac{2}{3}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 2}{3}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3}$

Перечислим все точки.

$(\frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

Step 5