Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{3} + x^{2} + 4 x$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $4 x^{3} + x^{2} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \cdot 1$

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} + 2 x + 4$ .

$12 x^{2} + 2 x + 4$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Вынесем множитель $2$ из $12 x^{2} + 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $12 x^{2}$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 4 = 0$

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 4 = 0$

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2 = 0$

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 x^{2}) + 2 x$ .

$2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2 = 0$

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ .

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$

Разделим каждый член $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Разделим $6 x^{2} + x + 2$ на $1$ .

$6 x^{2} + x + 2 = \frac{0}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $2$ .

$6 x^{2} + x + 2 = 0$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Подставим значения $a = 6$ , $b = 1$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 2)}}{2 \cdot 6}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Умножим $- 24$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Вычтем $48$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Перепишем $- 47$ в виде $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (47)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Умножим $- 24$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Вычтем $48$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Перепишем $- 47$ в виде $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (47)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{47}}{12}$

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{47}}{12}$

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{47})}{12}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{47})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{47})}{12}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Умножим $- 24$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Вычтем $48$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Перепишем $- 47$ в виде $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (47)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{47}}{12}$

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{47}}{12}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{47})}{12}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{47})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{47})}{12}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}, - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

Step 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены