Математический анализ Примеры

$\log_{a} (x)$

Step 1

Перепишем $\log_{a} (x)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

The change of base rule can be used if $a$ and $b$ are greater than 0 and not equal to 1, and $x$ is greater than 0.

$\frac{d}{d a} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = e$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{\ln (x)}{\ln (a)}]$

Step 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $\ln (x)$ является константой относительно $a$ , производная $\frac{\ln (x)}{\ln (a)}$ по $a$ равна $\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$ .

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$

Перепишем $\frac{1}{\ln (a)}$ в виде $\ln^{- 1} (a)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\ln^{- 1} (a)]$

Step 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ имеет вид $f' (g (a)) g' (a)$ , где $f (a) = a^{- 1}$ и $g (a) = \ln (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (a)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\ln (x) (- u^{- 2} \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (a)$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Step 4

Производная $\ln (a)$ по $a$ равна $\frac{1}{a}$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{1}{a})$

Step 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{a}$ и $\ln^{- 2} (a)$ .

$\ln (x) (- \frac{\ln^{- 2} (a)}{a})$

Перенесем $\ln^{- 2} (a)$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{a \ln^{2} (a)})$

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{a \ln^{2} (a)}$ .

$- \frac{\ln (x)}{a \ln^{2} (a)}$