Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 10 x + 24}{x - 4}$

Step 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 10 x + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 10 x + lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 10 x + lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Найдем предел $24$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 4} x + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4^{2} - 10 lim_{x \to 4} x + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4^{2} - 10 \cdot 4 + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16 - 10 \cdot 4 + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Умножим $- 10$ на $4$ .

$\frac{16 - 40 + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Вычтем $40$ из $16$ .

$\frac{- 24 + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Добавим $- 24$ и $24$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 10 x + 24}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

По правилу суммы производная $x^{2} - 10 x + 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Умножим $- 10$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10 + \frac{d}{d x} [24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Добавим $2 x - 10$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10}{1 + 0}$

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10}{1}$

Разделим $2 x - 10$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} 2 x - 10$

Step 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 10$

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 10$

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 10$

Step 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 10$

Step 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $4$ .

$8 - 1 \cdot 10$

Умножим $- 1$ на $10$ .

$8 - 10$

Вычтем $10$ из $8$ .

$- 2$