Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} - 64}{2 x^{2} + 17 x + 8}$

Step 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} - 64}{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + 17 x + 8}$

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} - lim_{x \to - 8} 64}{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + 17 x + 8}$

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - lim_{x \to - 8} 64}{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + 17 x + 8}$

Найдем предел $64$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + 17 x + 8}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + 17 x + 8}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{64 - 1 \cdot 64}{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + 17 x + 8}$

Умножим $- 1$ на $64$ .

$\frac{64 - 64}{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + 17 x + 8}$

Вычтем $64$ из $64$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + 17 x + 8}$

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + lim_{x \to - 8} 17 x + lim_{x \to - 8} 8}$

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 17 x + lim_{x \to - 8} 8}$

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 17 x + lim_{x \to - 8} 8}$

Вынесем член $17$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 17 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 8}$

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 17 lim_{x \to - 8} x + 8}$

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 8)}^{2} + 17 lim_{x \to - 8} x + 8}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 8)}^{2} + 17 \cdot - 8 + 8}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 64 + 17 \cdot - 8 + 8}$

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{0}{128 + 17 \cdot - 8 + 8}$

Умножим $17$ на $- 8$ .

$\frac{0}{128 - 136 + 8}$

Вычтем $136$ из $128$ .

$\frac{0}{- 8 + 8}$

Добавим $- 8$ и $8$ .

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} - 64}{2 x^{2} + 17 x + 8} = lim_{x \to - 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 64]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 17 x + 8]}$

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 64]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 17 x + 8]}$

По правилу суммы производная $x^{2} - 64$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 17 x + 8]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 64]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 17 x + 8]}$

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- 64$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 17 x + 8]}$

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 17 x + 8]}$

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 17 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [8]}$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [8]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [8]}$

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x}{4 x + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [8]}$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [17 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $17$ является константой относительно $x$ , производная $17 x$ по $x$ равна $17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x}{4 x + 17 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x}{4 x + 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}$

Умножим $17$ на $1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x}{4 x + 17 + \frac{d}{d x} [8]}$

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x}{4 x + 17 + 0}$

Добавим $4 x + 17$ и $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x}{4 x + 17}$

Step 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to - 8} \frac{x}{4 x + 17}$

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} 4 x + 17}$

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} 4 x + lim_{x \to - 8} 17}$

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 8} x}{4 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 17}$

Найдем предел $17$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 8} x}{4 lim_{x \to - 8} x + 17}$

Step 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$2 \frac{- 8}{4 lim_{x \to - 8} x + 17}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$2 \frac{- 8}{4 \cdot - 8 + 17}$

Step 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $- 8$ .

$2 \frac{- 8}{- 32 + 17}$

Добавим $- 32$ и $17$ .

$2 (\frac{- 8}{- 15})$

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$2 (\frac{8}{15})$

Умножим $2 (\frac{8}{15})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2$ и $\frac{8}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{15}$

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16}{15}$

Step 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{16}{15}$

Десятичная форма:

$1.0\overline{6}$