Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 4 x - 8$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 4 + 0$

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$2 x - 4$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $2 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x - 4 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 x - 4 + 0$

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x - 4$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - 4$ .

$2 x - 4$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - 4 = 0$

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 4$

Разделим каждый член $2 x = 4$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = 4$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $4$ на $2$ .

$x = 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2$

Этап 9

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 4 - 4 \cdot 2 - 8$

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (2) = 4 - 8 - 8$

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $8$ из $4$ .

$f (2) = - 4 - 8$

Вычтем $8$ из $- 4$ .

$f (2) = - 12$

Окончательный ответ: $- 12$ .

$y = - 12$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} - 4 x - 8$ .

$(2, - 12)$ — локальный минимум

Этап 12