Математический анализ Примеры

$\ln (x^{4} + 27)$

Step 1

Запишем $\ln (x^{4} + 27)$ в виде функции.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Step 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{4} + 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{4} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Объединим $\frac{4}{x^{4} + 27}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Step 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Перенесем $3$ влево от $x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

По правилу суммы производная $x^{4} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Добавим $3$ и $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Объединим $4$ и $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Добавим $2$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Умножим $3$ на $27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Умножим $81$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Умножим $- 4$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Вычтем $16 x^{6}$ из $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Step 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Step 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{4} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

Объединим $\frac{4}{x^{4} + 27}$ и $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Step 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$4 x^{3} = 0$

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $4 x^{3} = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $4 x^{3} = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $4$ .

$x^{3} = 0$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Step 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Step 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{- 4 {(0)}^{6} + 324 {(0)}^{2}}{{({(0)}^{4} + 27)}^{2}}$

Step 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{- 4 \cdot 0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Умножим $324$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 27)}^{2}}$

Добавим $0$ и $27$ .

$\frac{0}{27^{2}}$

Возведем $27$ в степень $2$ .

$\frac{0}{729}$

Разделим $0$ на $729$ .

$0$

Step 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{16 + 27}$

Добавим $16$ и $27$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{43}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32}{43}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{32}{43}$

Окончательный ответ: $- \frac{32}{43}$ .

$- \frac{32}{43}$

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{{(2)}^{4} + 27}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{2^{4} + 27}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{2^{4} + 27}$

Добавим $2$ и $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{2^{4} + 27}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{16 + 27}$

Добавим $16$ и $27$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{43}$

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f' (2) = \frac{32}{43}$

Окончательный ответ: $\frac{32}{43}$ .

$\frac{32}{43}$

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Step 12