Математический анализ Примеры

$y = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 1

Запишем $y = x^{4} - 4 x^{3}$ в виде функции.

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Умножим $3$ на $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Step 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 12 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Step 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Step 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Step 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x^{2} (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Step 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 3$

Step 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0$

Step 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 \cdot 0 - 24 \cdot 0$

Умножим $12$ на $0$ .

$0 - 24 \cdot 0$

Умножим $- 24$ на $0$ .

$0 + 0$

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Step 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $4 x^{3} - 12 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2}$

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 {(- 2)}^{2}$

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 \cdot 4$

Умножим $- 12$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 32 - 48$

Вычтем $48$ из $- 32$ .

$f' (- 2) = - 80$

Окончательный ответ: $- 80$ .

$- 80$

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, 3)$ в первую производную $4 x^{3} - 12 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 12 {(2)}^{2}$

Умножим $4$ на $8$ .

$f' (2) = 32 - 12 {(2)}^{2}$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 32 - 12 \cdot 4$

Умножим $- 12$ на $4$ .

$f' (2) = 32 - 48$

Вычтем $48$ из $32$ .

$f' (2) = - 16$

Окончательный ответ: $- 16$ .

$- 16$

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(3, \infty)$ в первую производную $4 x^{3} - 12 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2}$

Умножим $4$ на $216$ .

$f' (6) = 864 - 12 {(6)}^{2}$

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (6) = 864 - 12 \cdot 36$

Умножим $- 12$ на $36$ .

$f' (6) = 864 - 432$

Вычтем $432$ из $864$ .

$f' (6) = 432$

Окончательный ответ: $432$ .

$432$

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 3$ , $x = 3$ — локальный минимум.

$x = 3$ — локальный минимум

Step 12